Question

【题目】已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．

（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）由题可得： ，

解得： ，

则二次函数的解析式为y=﹣ x2+x+4．

∵点D（2，m）在抛物线上，

∴m=﹣ ×22+2+4=4，

（2）

解：过点D作DH⊥AB于点H，如图1，

∵点D（2，4），点B（4，0），

∴DH=4，OH=2，OB=4，

∴BH=2，∴DB= =2 ．

∵点E为DB的中点，

∴BE= BD= ．

令y=0，得﹣ x2+x+4=0，

解得：x1=4，x2=﹣2，

∴点A为（﹣2，0），

∴AB=4﹣（﹣2）=6．

①若△QBE∽△ABD，

则 = ，

∴ = ，

解得：BQ=3，

∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1，

∴点Q的坐标为（1，0）；

②若△QBE∽△DBA，

则 = ，

∴ = ，

∴BQ= ，

∴OQ=OB﹣BQ=4﹣ = ，

∴点Q的坐标为（ ，0）．

综上所述：点Q的坐标为（1，0）或（ ，0）；

（3）

解：如图2，由A（﹣2，0），D（2，4），

可求得直线AD的解析式为：y=x+2，

即点F的坐标为：F（0，2），

过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，

由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，

则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，

则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，

即四边形CFNM的最短周长为：2+2 ．

此时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，

所以存在点N的坐标为N（ ，0），点M的坐标为M（1，1）．

【解析】（1）首先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把点D（2，m）代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，根据勾股定理可求出BD，易求出点A的坐标，从而得到AB长，然后分两种情况：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA讨论，运用相似三角形的性质求出BQ，从而得到OQ，即可得到点Q的坐标；（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2 时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，从而得到满足条件的点M和点N的坐标．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题．