已知:如图.抛物线y=-x2+bx+c经过原点O.它的对称轴为直线x=2.动点P从抛物线的顶点A出发.在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动.设动点P运动的时间为t秒.连接OP并延长交抛物线于点B.连结OA.AB．(1)求抛物线解析式及顶点坐标,(2)当三点A.O.B构成以为OB为斜边的直角三角形时.求t的值,(3)将△PAB沿直线PB折叠后.那么点A的对称� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A₁能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线y=-x²+bx+c经过原点O，且对称轴为直线x=2，列出关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，即可得到抛物线的解析式，进而求出顶点坐标；
（2）设B（x，-x²+4x）．在直角△AOB中，根据勾股定理得出OA²+AB²=OB²，据此列出方程2²+4²+（x-2）²+（-x²+4x-4）²=x²+（-x²+4x）²，解方程求出x的值，得到B点坐标为（

，

），再运用待定系数法求出直线OB的解析式为y=

x，将x=2代入，得到y=3，则AP=4-3=1，然后根据时间=路程÷时间即可求出t的值；
（3）将△PAB沿直线PB折叠后，点A的对称点A₁恰好落在坐标轴上，可分三种情况进行讨论：①点A₁在x轴正半轴上；②点A₁在y轴负半轴上；③点A₁在x轴负半轴上．

解答：解：（1）由题意得

c=0

-b

2×(-1)

，
解得

b=4

c=0

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x；
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴顶点A的坐标为（2，4）；

（2）如图1，设B（x，-x²+4x）．
∵三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形，
∴OA²+AB²=OB²，
即2²+4²+（x-2）²+（-x²+4x-4）²=x²+（-x²+4x）²，
整理，得2x²-9x+10=0，
解得x₁=

，x₂=2（舍去），
∴B（

，

）．
设直线OB的解析式为y=kx，则

，
解得k=

，
∴y=

x．
当x=2时，y=3，
∴AP=4-3=1，
∴t=1÷1=1（秒）；

（3）分三种情况：
①若点A₁在x轴正半轴上，如图2，
可得PD²+A₁D²=PA₁²，
即（4-t）²+（2

-2）²=t²，
解得t=5-

；
②若点A₁在y轴负半轴上，如图3，连结AA₁交OB于E．
可得OA₁=OA=2

，
∴∠OA₁A=∠OAA₁，
∵OA₁∥AP，
∴∠OA₁A=∠A₁AP，
∴∠OAA₁=∠A₁AP，
∵AA₁⊥OP，

∴∠OEA=∠PEA=90°．
在△OAE与△PAE中，

∠OAE=∠PAE

AE=AE

∠OEA=∠PEA

，
∴△OAE≌△PAE（ASA），
∴OA=PA=2

，
∴t=2

；
③若点A₁在x轴负半轴上，如图4．
可得PD²+A₁D²=PA₁²，
即（t-4）²+（2

+2）²=t²，
解得t=5+

；
综上所述，所有满足条件的t的值为（5-

）秒或2

秒或（5+

）秒．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、正比例函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定难度．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．

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