Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，过点A，点B作AD⊥BD，且AD=3BD，设BD=x，△BCD的面积为y，则y与x函数关系式是________．

Answer 1

y=x²
分析：过C点作CF⊥AD于E点，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=90°，AB=AC，利用等角的余角相等得∠BAD=∠ACE，又AB=CA，∠ADB=∠AEC=90°，根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，利用全等三角形的性质有BD=AE，AD=CE，又AD=3BD，BD=x，则AD=CE=3x，根据勾股定理可计算出AB=x，而y=S_△CBD=S_△ABD+S_△ADC-S_△ABC，然后根据三角形的面积公式进行计算即可得到y与x函数关系式．
解答：过C点作CF⊥AD于E点，如图，
∴∠AEC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD=3BD，设BD=x，
∴AD=CE=3x，AB===x，
∴y=S_△CBD
=S_△ABD+S_△ADC-S_△ABC
=•3x•x+•3x•3x-•（x）²
=x²．
故答案为y=x²．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式．