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9.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,其中正确结论的个数为3个.

分析 由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

解答 解:∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,所以①错误;

∵顶点为D(-1,2),
∴抛物线的对称轴为直线x=-1,
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,
∴当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,所以②正确;

∵抛物线的顶点为D(-1,2),
∴a-b+c=2,
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1,
∴b=2a,
∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确;

∵当x=-1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.
综上所述,共有3个正确结论,
故答案为:3.

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系,关键是掌握以下性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点

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