Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x²+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．
（2）ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME的最大值．
（3）根据（2）的结果可确定出F，M的坐标，要使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP∥=BF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点．

解答：解：（1）当y=0时，-3x-3=0，x=-1
∴A（-1，0）
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
∴

1-b+c=0 c=-3

∴

b=-2 c=-3

，
抛物线的解析式是：y=x²-2x-3．
当y=0时，x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3
∴B（3，0）．

（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3）直线BC的解析式是：y=x-3，
设M（x，x-3）（0≤x≤3），则E（x，x²-2x-3）
∴ME=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

；
∴当x=

3

2

时，ME的最大值为

9

4

．

（3）答：不存在．
由（2）知ME取最大值时ME=

9

4

，E（

3

2

，-

15

4

），M（

3

2

，-

3

2

）
∴MF=

3

2

，BF=OB-OF=

3

2

．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P₁（0，-

3

2

）或P₂（3，-

3

2

）
当P₁（0，-

3

2

）时，由（1）知y=x²-2x-3=-3≠-

3

2

∴P₁不在抛物线上．
当P₂（3，-

3

2

）时，由（1）知y=x²-2x-3=0≠-

3

2

∴P₂不在抛物线上．
综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．（2）中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键．