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    已知，如图，一条抛物线的对称轴是直线x=，经过点（1，-3）、（3，-2），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．D、E分别是边AC、BC上的两个动点（不与A、B重合），且保持DE∥AB．以DE为边向上作正方形DEFG．
    （1）求二次函数的解析式．
    （2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
    （3）当正方形的边GF在AB边上时，求正方形DEFG的边长．
    （4）当D、E在运动过程中，正方形DEFG的边长能否与△ABC的外接圆相切？若相切，求出DE的长；若不能，则说明理由．

    【答案】分析：（1）根据抛物线的对称轴设出二次函数的顶点式，再根据此抛物线经过点（1，-3）、（3，-2）即可得出此函数的解析式；
    （2）由（1）中函数的解析式可得出A、B、C三点的坐标，可得出△AOC∽△COB，再根据相似三角形的性质即可得出结论；
    （3）设△ABC外接圆圆心为N，切点为H．DE为y，△ABC的外接圆半径为2.5，再根据=即可得出结论．
    解答：解：（1）设二次函数解析式为y=a（x-）2+k，
    经过（1，-3），（3，-2），得
    a=，k=-，
    ∴二次函数解析式为y=（x-）2-；

    （2）解得A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
    ∵∠AOC=∠BOC=90°，
    ==，
    ∴△AOC∽△COB，
    ∴∠ACO=∠ABC，
    ∴∠ACO+∠BCO=∠ABC+∠BCO=90°，
    ∴△ABC是直角三角形；（另外解法也给分）

    （3）当GF在AB上时，DE交OC于M．设正方形的边长为x．
    ∵DE∥AB，
    ∴△CDE∽△CAB，
    ∴=，=，
    ∴x=，
    答：正方形的边长为；

    （4）能相切．
    设△ABC外接圆圆心为N，切点为H．DE为y，△ABC的外接圆半径为2.5，
    ∴OM=y-2.5，CM=2-（y-2.5）=4.5-y，
    ∵=，=，
    ∴y=．
    答：正方形DEFG的边长能与△ABC的外接圆相切，DE为．
    点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到正方形的性质、三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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    （1）请建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，数学公式），水柱的最高点的坐标为（3，数学公式），求此坐标系中抛物线对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
    （2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装了喷水龙头，相邻轨道之间的宽度为l米，最内轨道的半径为r米，其上每1.2米的弧长上装有一个喷水龙头，其他轨道上的喷水龙头个数与最内轨道上的个数相同．（1）中水柱落地处刚好在最外轨道上，求当r为多少时，水池中安装的喷水龙头的个数最多？

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