Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形得出两边相等即可．
（2）简单的角度的计算，由∠A可先求出∠B，∠C的大小，进而求出∠DEF的大小，
（3）等腰直角三角形的判定，可先假设其成立，再进行验证．
（4）先猜想出∠A的度数，再由全等三角形的判定定理得出△DBE≌△ECF，再根据全等三角形的对应角11相等即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C．
在△DBE和△ECF中
∵

BE=CF ∠B=∠C BD=EC

，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE=EF．
∴DEF是等腰三角形．

（2）解：∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°．
∴∠BDE+∠DEB=110°．
△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．

（3）解：假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，
∴∠BDE+∠DEB=90°．
∴∠B=∠C=90°．
∴这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）猜想∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°．
∵∠A=60°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠BDE+∠DEB=120°．
∵△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=120°，
∴∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．

点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质及全等三角形的性质及判定定理；其中的反证法是一种很重要的方法，注意掌握．