Question

【题目】已知，如图，在 ABC 中， ACB 90， B 60， BC 2 ，MON 30．

（1）如图 1， MON 的边 MO ⊥ AB ，边 ON 过点 C ，求 AO 的长；

（2）如图 2，将图 1 中的 MON 向右平移，MON 的两边分别与 ABC 的边 AC 、BC

相交于点 E 、 F ，连接 EF ，若 OEF 是直角三角形，求 AO 的长；

（3）在（2）的条件下，MON 与 ABC 重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出 最大值，若不存在，请说明理由．

图 1 图 2 备用图

Answer 1

【答案】(1)2;(2) 或;(3)见解析.

【解析】

（1）先证△BOC是等边三角形，得BO=2，在中，，，得AB=4．所以AO=AB-BO=2；

（2）分两种情况①∠OEF=90°，设AO=,根据题意得；②∠OFE=90°

设AO=,根据题意得；

（3）设AO=,根据题意得OB=，，根据题意得：，即 ，求二次函数的最值可得.

（1）∴∠MON=30°,MO⊥AB,

∴∠COB=60°,

∵∠B=60°,

∴△BOC是等边三角形,

∵BC=2,

∴BO=2,

在中，，，，

∴AB=4．

∴ AO=AB-BO=2.

（2）①∠OEF=90°

设AO=,根据题意得OB=，，,

∴∴

②∠OFE=90°

设AO=,根据题意得OB=，，,

∴

∴

∴是直角三角形时，AO长为或

（3）设AO=,根据题意得OB=，，

设重叠部分的面积为S,根据题意得：

∴

整理得：

∵,

∴有最大值

∴当时，最大值