Question

如图已知在⊙O中，直径AB=10，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是弧BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BF．
（1）请你找出图中的相似三角形，并对其中的一对相似三角形进行证明；
（2）若AE：BE=1：4，求CD长．
（3）在（2）的条件下，求AH×AF的值．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理求出弧AC=弧AD，推出∠ACH=∠AFC即可；推出∠AFB=∠AEH=90°，即可推出△AEH∽△AFB；
（2）连接OC，求出OE、OC的值，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理得出CD=2CE即可；
（3）由相似得出比例式，推出AC²=AH×AF，由勾股定理求出AC即可．

解答：解：（1）△ACH∽△AFC，△AEH∽△AFB；
说明理由：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ACH=∠AFC，
∵∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC．

（2）解：∵CD⊥AB，连接OC，AB=10，AE：BE=1：4，
∴AE=2，则OE=3，OC=5，
在Rt△OCE中，由勾股定理得，CE=4，
∴由垂径定理得：CD=2CE=8．

（3）∵△ACH∽△AFC，
∴

AC

AH

=

AF

AC

，
∴AC²=AH×AF，
∴Rt△ACE中，由勾股定理得AC²=2²+4²=20，
∴AH×AF=20．

点评：本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．