Question

如图，BD是△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD交BD的延长线于F．
（1）探索BE，BF和BD三者之间的数量关系，并证明；
（2）连接AE、CF，求证：AE∥CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据AAS，可得△AFD与△CED的关系，根据全等三角形的性质，可得ED与DF的关系，根据线段的和差，可得答案；
（2）根据SAS，可得△AED与△CFD的关系，根据全等三角形的性质，可得∠AED与∠CFD的关系，根据平行线的判定，可得答案．

解答：解：（1）BE+BF=2BD，
证明：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD．
∵CE⊥BD于E，AF⊥BD交BD的延长线于F，
∴∠CED=∠AFD=90°．
在△AFD与△CED中

∠AFD=∠CED ∠ADF=∠CDE AD=CD

，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE．
∵BE+BF=BE+ED+BF-DF=2BD，
∴BE+BF=2BD；
（2）证明：在△AED与△CFD中

AD=CD ∠ADE=∠CDF(对顶角相等) ED=FD

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠AED=∠CFD，
∴AE∥CF．

点评：本题考查了全等三角形，利用了全等三角形的判定与证明，平行线的判定．