Question

直线y=-

3

x+

3

和x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为一边作等边三角形ABC．使顶点C位于第一象限内，在第一象限内另有一点Q（

1

2

，m），且满足S_△ABQ=S_△ABC．求：
（1）A、B两点的坐标；
（2）线段AB的长；
（3）m的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）在y=-

3

x+

3

中令y=0，求得x即可得到与x轴的交点；令x=0求得y，即可求得与y轴的交点；
（2）利用勾股定理即可求得AB的长；
（3）首先求得△ABC的面积，根据S_△ABQ=S_△ABC，求得Q到直线AB的距离，利用三角函数即可求得Q到x轴的距离，即可求得m的值．

解答：解：（1）在y=-

3

x+

3

中，
令y=0，解得：x=1，则A的坐标是（1，0）；
令x=0，解得：y=

3

，则B的坐标是（0，

3

）；

（2）AB=

OA2+OB2

=

1+3

=2；

（3）S_△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，
作出直线x=

1

2

，设交直线AB与点D，在y=-

3

x+

3

中，令x=

1

2

，解得：y=

3

2

，则D的坐标是（

1

2

，

3

2

），
作QE⊥AB于点E．
∵S_△ABQ=S_△ABC，
∴

1

2

×2•EQ=

3

，
解得：EQ=

3

，
∵在直角△OAB中tan∠BAO=

3

1

=

3

，
∴∠ABO=60°，
∴∠EDQ=30°，
在直角△EDQ中，DQ=2EQ=2

3

，
∴QF=DQ+DF=2

3

+

3

2

=

5 3

2

，
∴m=

5 3

2

．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式、等边三角形的面积的计算，以及三角函数的综合应用，正确作出辅助线是解决本题的关键．