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已知A(-a,0)、B(0,b),且a+b=16,ab=m2-20m+164,C为BO中点,OE⊥AC交AB于E,连AC.
(1)求A、C、B的坐标;
(2)求证:∠1=∠2;
(3)H为AB线段上一动点,HG⊥OB,HN⊥AO,问H运动过程中,HG+HN是如何变化?
考点:一次函数综合题
专题:
分析:(1)由a+b=16,ab=m2-20m+164,易得(b-8)2≤0,即可求得b的值,继而求得a的值,然后由C为BO中点,即可求得A、C、B的坐标;
(2)首先过点E作EF⊥y轴于点F,过点E作ED⊥x轴于点D,可得∠2=∠AOE,求得tan∠2=
OA
OC
=
ED
OD
=
8
4
=2,△ADE是等腰直角三角形,则可求得点E的坐标,继而求得EF与CF的长,则可求得tan∠1=
EF
CF
=2,证得∠1=∠2;
(3)首先求得直线AB的解析式,设HN=m,HG=n,得到点H的坐标为(-m,n),然后将其代入解析式,即可求得HG+HN=8.
解答:解:(1)∵a+b=16,
∴a=16-b.
∴ab=(16-b)b=(m-10)2+64≥64,
∴(16-b)b-64=-b2+16b-64≥0,
即b2-16b+64≤0,
∴(b-8)2≤0.
∴b=8,
∴a=16-8=8,
∴A(-8,0),B(0,8),
∵C为BO中点,
∴C(0,4).

(2)过点E作EF⊥y轴于点F,过点E作ED⊥x轴于点D,
∴∠ODE=∠COA=90°,
∵OE⊥AC,
∴∠OAC+∠AOE=90°,
∵∠2+∠OAC=90°,
∴∠2=∠AOE,
∴tan∠2=tan∠EOD,
∴tan∠2=
OA
OC
=
ED
OD
=
8
4
=2,
∴ED=2OD,
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAB=45°,
∴∠OAB=∠AED,
∴ED=AD,
∴AD=2OD,
∴OD=
8
3
,ED=AD=
16
3

∴EF=OD=
8
3
,CF=OF-OC=
16
3
-4=
4
3

∴tan∠1=
EF
CF
=2,
∴∠1=∠2;

(3)设直线AB的解析式为:y=kx+b,
b=8
-8k+b=0

解得:
k=1
b=8

∴直线AB的解析式为:y=x+8,
∵H为AB线段上一动点,HG⊥OB,HN⊥AO,
设HN=m,HG=n,
则点H的坐标为(-m,n),
∴n=-m+8,
∴m+n=8,
即HG+HN=8.
点评:此题属于一次函数的综合题,考查了待定系数求一次函数解析式、三角函数、完全平方公式以及等腰直角三角形的性质.此题难度较大,综合性很强,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
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1
x

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1
2
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x
3
=
y
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z
5
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的值.

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