Question

我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形，你可以利用这一结论解决问题。如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转度后的图形。它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）。

（1）判断并填写，不论取何值，四边形ABCD的形状一定是______；
（2）①当点B坐标为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p、和m的值；
②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形?若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由。

Answer 1

（1）平行四边形；（2）P＝，＝30°，m=2；（3）2个；（4）不能

解析试题分析：（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；
（2）①把点B（p，1）代入，即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；②当m=2时，设B（x，），则x＞0，由OB=2，得出，解此方程，得满足条件的x的值有两个，故能使四边形ABCD为矩形的点B共有两个；
（3）假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形．
（1）平行四边形；
（2）∵矩形对角线相等且互相平分
∴OC＝OB，又B（P，1）在上，则P＝
∴B（，1），则OB＝2，
∴OC＝2，则m=2，∠BOC＝30°，即=30°
（3）当m=2时，点B共有2个；
（4）四边形ABCD不能是菱形。理由如下：
∵反比例图象与y轴永无交点，即BD不可能在y轴上。
∴BD不垂直于AC
即四边形ABCD的对角线一定不垂直
∴四边形ABCD不能为菱形
考点：平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义
点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需要特别注意.