Question

杨老师在课上讲了一个重要的不等式：a＞0时a+

1

a

≥2后，随手出了一个题目：解方程：（x²⁰⁰⁸+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008•x²⁰⁰⁷，你能求解吗？

Answer 1

分析：根据已知得到x＞0，方程两边同除以x²⁰⁰⁷得到（x+

1

x2007

）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008，展开后得出（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x²⁰⁰⁷+

1

x2007

）=2008，根据x+

1

x

推出（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x+

1

x2007

）≥2008，得到方程x=

1

x

，求出即可．

解答：解：易知x＞0，方程两边同除以x²⁰⁰⁷得
（x+

1

x2007

）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008，
∴x+x³+x⁵+…+x²⁰⁰⁷+

1

x2007

+

1

x2005

+…+

1

x

=2008，
∴（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x²⁰⁰⁷+

1

x2007

）=2008．
又∵x+

1

x

≥2，x³+

1

x3

≥2，…，x²⁰⁰⁷+

1

x2007

≥2．
∴（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x+

1

x2007

）≥2008．
要使方程成立，必须有x=

1

x

，x³=

1

x3

，…，x²⁰⁰⁷=

1

x2007

，即x=±1．
但x＞0，故x=1，
答：x=1．

点评：本题主要考查对几何不等式的理解和掌握，能把方程转化成x+

1

x

的形式并熟练地运用公式进行计算是解此题的关键．