Question

18．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB=30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，N P为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．

（1）请写出小明这种做法的理由；
（2）在此基础上请你作如下操作和探究（如图3）：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？
（3）点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形（不写作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）如图2，连结OP，由题意可得$\widehat{MC}$=$\widehat{MP}$，$\widehat{PN}$=$\widehat{DN}$，于是得到∠COM=∠POM，∠PON=∠DON，由已知条件得到∠COD=2∠MON=60°，于是得到结论；
（2）根据他在他家得到∠CON=45°，得到∠OEC=75°，根据等腰三角形的性质得到∠ONM=∠OMN=75°，求得∠OEC=∠ONM，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（3）当P是$\widehat{MN}$的中点时，MN∥CD；根据题意作出图形即可．

解答 解：（1）如图2，连结OP，
由题意可得$\widehat{MC}$=$\widehat{MP}$，
∴∠COM=∠POM，$\widehat{PN}$=$\widehat{DN}$，
∴∠PON=∠DON，
∴∠POM+∠PON=∠COM+∠DON=30°，
∴∠COD=2∠MON=60°，
∴△OCD是等边三角形；

（2）不一定，只有当∠COM=15°，CD∥MN，
理由：∵∠COM=15°，∠MON=30°，
∴∠CON=45°，
∵∠C=60°，
∴∠OEC=75°，
∵ON=OM，
∴∠ONM=∠OMN=75°，
∴∠OEC=∠ONM，
∴CD∥MN；

（3）当P是$\widehat{MN}$的中点时，MN∥CD；如图3所示．

点评 本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．