Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度数；

（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；

（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）6

【解析】

（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；

（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；

（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．

解：（1）如图1，

∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，

∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：

如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，

∴∠EBF＝∠ADB＝45°，

又∠ABC＝90°，

∴α+β＝45°，

过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，

∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，

∴△AEB≌△CNB（SAS），

∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，

∴∠FCN＝90°．

∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，

∴△BFE≌△BFN（SAS），

∴EF＝FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，

∴EA2+CF2＝EF2；

（3）如图3，延长GE，HF交于K，

由（2）知EA2+CF2＝EF2，

∴EA2+CF2＝EF2，

∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，

∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，

即S△ABC＝S矩形BGKH，

∴S△ABC＝S矩形BGKH，

∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，

∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，

∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，

∴S△BMH：S△BGM＝8：9，

∵BM平分∠GBH，

∴BG：BH＝9：8，

设BG＝9k，BH＝8k，

∴CH＝3+k，

∵AG＝3，

∴AE＝3，

∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），

∵EA2+CF2＝EF2，

∴，

整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，

解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．

∴AB＝12，

∴AO＝AB＝6，

∴⊙O的半径为6．