Question

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC，延长EC到点P，连接PB．使PB=PE．
（1）在以下5个结论中：一定成立的是

①③④⑤

（只需将结论的代号填人题中的横线上）
①

AC

=

BC

；②OF=CF；③BF=AF；④AC²=AE•AB；⑤PB是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为8cm．AE：EF=2：1．求弓形ACB的面积．

Answer 1

分析：（1）连接BC，OB，OA，根据垂径定理即可判断①②③；证△ACE和△ACB相似推出比例式，即可判断④；证出OB⊥PB，根据切线的判定定理判断⑤即可；
（2）弓形ACB的面积等于扇形OAB的面积减去△AOB的面积，设AE=2a，EF=a，则CE=2a，在Rt△OBF中，根据勾股定理求出a，根据含30度角的直角三角形求出圆心角AOB的度数，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．

解答：解：（1）连接BC，OB，OA，
∵AB⊥CD，CD是圆的直径，
∴BC=AC，弧AC=弧BC，BF=AF，∴①③正确；
∴∠CAB=∠CBA，
∵CE=AE，
∴∠CAB=∠ACE=∠CBA，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△CAE∽△BAC，
∴

AC

AE

=

AB

AC

，
∴AC²=AE•AB，∴④正确；
∵PB=PE，
∴∠PBA=∠PEB，
∵∠PEB=∠CAB+∠ECA=2∠CAB=2∠CBF，
∴∠PBC=∠CBE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBP=∠OCB+∠CBA=90°，
即OB⊥PB，
∵OB是圆O的半径，
∴PB是圆O的切线，∴⑤正确；
根据已知条件不能推出CF=OF，∴②错误；
故答案为：①③④⑤．

（2）设AE=2a，EF=a，则CE=2a，由勾股定理得：CF=

3

a，
BF=AF=3a，
在Rt△OBF中，由勾股定理得：OB²=BF²+OF²，
∴8²=（3a）²+(8-

3

a)2，
∴a=

4 3

3

，
∴OF=8-

4 3

3

×

3

=4，
∵OB=8，
∴∠FBO=30°，
∴∠BOA=2×60°=120°，
∴弓形ACB的面积等于扇形OAB的面积减去△AOB的面积，
即：

120π×82

360

-

1

2

×6×

4 3

3

×4=（

64

3

π-16

3

）（cm²），
答：弓形ACB的面积是

64

3

π-16

3

cm²

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，垂径定理，含30度角的直角三角形性质，三角形的面积，扇形的面积，切线的判定等知识点，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生有较高的要求，但题型较好．