Question

如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否AC的中点？为什么？

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据线段垂直平分线性质推出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠AEB=90°，根据等腰三角形性质求出即可．

解答：（1）AB=AC，
证明：连结AD，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
 即AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AB=AC；

（2）解：当△ABC为正三角形时，E是AC的中点，
连接BE，
∵AB为直径，
∴∠BEA=90°，
即BE⊥AC，
∵△ABC为正三角形，
∴AE=EC，
即E是AC的中点．

点评：本题考查了等边三角形性质，圆周角定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．