Question

8．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；
（3）设DE=x，则根据CE²=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．

解答 （1）证明：∵AD是直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCE=∠DBE}\\{BE=CE}\\{∠BED=∠CEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CEF，
∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，
∵∠AEC=∠CED，∠CAE=∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EC}{ED}$，
∴CE²=DE•AE，
设DE=x，
∵BC=8，AD=10，
∴4²=x（10-x），
解得：x=2或x=8（舍去）
在Rt△CED中，
CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．