Question

如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．
（1）求证：AE=CD；
（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质求出△ABE≌△CBD，再根据全等三角形的性质解答即可；
（2）先根据三角形的中位线定理求出△ABP≌△CBQ，再根据等边三角形的判定定理解答即可．

解答：（1）证明：∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，
∴AB=CB，BE=BD，
∴∠ABC=∠DBE=60°，（1分）
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，（2分）
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），（3分）
∴AE=CD．（4分）

（2）解：△PBQ是等边三角形．
证明如下：（1分）
由（1）证明可知：△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，（5分）
∵点P、Q分别是AE、CD的中点，
∴AP=

1

2

AE，CQ=

1

2

CD，
∴AP=CQ，（6分）
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠EAB=∠DCB AP=CQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），（7分）
∴∠PBA=∠QBC，PB=QB，（8分）
∴∠QBP=∠PBC+∠QBC=∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴△PBQ是等边三角形．（9分）

点评：此题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质，难度适中．