Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）直接写出当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．
（2）当点C在线段OB上运动时，四边形ADEC的面积为S．
①求证：四边形ADEC为平行四边形．
②写出s与t的函数关系式，并求出t的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使OC是PC的一半？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据BC=$\frac{1}{2}$OB，求出BC的长，求出时间t，根据OE=OP+PE求出点E的坐标；
（2）①连接CD交OP于点G，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
②根据四边形ADEC是平行四边形，面积为△ACE面积的2倍求出s与t的函数关系式，根据点C移动的距离和速度求出t的取值范围；
（3）根据OC是PC的一半，则∠CPO=30°，分点C在线段OB上和点C在线段OB延长线上两种情况运用正切求解即可．

解答 解：（1）∵B（0，6），∴OB=6，
点C运动到线段OB的中点时，BC=3，∴t=$\frac{3}{2}$，
则OP=$\frac{3}{2}$，OE=OP+PE=OP+OA=$\frac{9}{2}$，
∴E（$\frac{9}{2}$，0）；
（2）①如图1，连接CD交OP于点G，
在平行四边形PCOD中，CG=DG，OG=PG，
∵AO=PO，
∴AG=EG，
∴四边形ADEC是平行四边形；
②∵AE=t+6，OC=6-2t，
∴s=$\frac{1}{2}$×AE×OC×2=（t+6）×（6-2t）
=36-6t-2t² （ 0＜t＜3 ）
（3）如图2，当点C在线段OB上时，OC=$\frac{1}{2}$PC，则∠CPO=30°，
tan∠CPO=$\frac{OC}{OP}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{6-2t}{t}$，解得，t=$\frac{36-6\sqrt{3}}{11}$，
如图3，当点C在线段OB延长线上时，
$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2t-6}{t}$，解得，t=$\frac{36+6\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查的是坐标和图形、平行四边形的判定和性质、二次函数解析式的求法、锐角三角函数知识的综合运用，正确运用分情况讨论思想和数形结合思想是解题的关键．