Question

【题目】在△ABC中，点O是边AC的中点，分别过点A、C作射线BO的垂线，E、F是垂足．

　　

（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）如图2，若，，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CF=2．

【解析】

（1）根据AAS先证明△AOE≌△COF，从而得出EO=FO，结合AO=CO即可得出结论；

（2）先根据已知求出AO，CO的长，过点B作BH⊥AC于点H，在Rt△BCH中，根据，结合勾股定理可得出BH，CH的长，进而可求出HO的长．再在Rt△BOH中，可得出tan∠BOH=，从而在Rt△AEO中，tan∠AOE=tan∠BOH=，结合AO的长，可以求出AE的长，由CF=AE可得出结果．

（1）证明：∵O为AC的中点，∴AO=CO．

又AE⊥BO，CF⊥BO，∴∠AEO=∠CFO=90°，

又∠AOE=∠FOC，∴△AOE≌△COF（AAS），

∴EO=FO，

又AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：∵AC=BC，

∴AO=CO=AC=．

过点B作BH⊥AC于点H，

在Rt△BCH中，tan∠BCH=，

设BH=3x，则CH=4x，∴BC==5x=，

∴x=，∴BH=，CH=，

∴HO=HC-OC=，

在Rt△BOH中，tan∠BOH=，

在Rt△AEO中，tan∠AOE=tan∠BOH=，

设OE=y，则AE=2y，AO=，

∴y=1，∴AE=2，

又由（1）知四边形AECF是平行四边形，

∴CF=AE=2．