Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，OA=OB．

（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；

（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD=12，AB=5，求PE+PF的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）通过平行线的性质可得，再根据可得，即可证明，即可证明四边形ABCD是平行四边形，再根据，即可证明四边形ABCD是矩形；

（2）连接OP，根据矩形的性质和勾股定理得，再根据矩形和三角形的面积公式即可求解．

（1）∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴四边形ABCD是平行四边形

∵

∴四边形ABCD是矩形；

（2）连接OP，

∵四边形ABCD是矩形

∴

在△BAD中，

由勾股定理得

∴

∵矩形的面积是

∴△AOD的面积是

∵△APO、△POD是同底的三角形

∴

∴

∴

故PE+PF的值．