Question

18．如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，4），O是原点，顶点A、C都在坐标轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象分别交BC、BA于E、F点（不重合），连接OE、CF相交于点M．
（1）若S_△OEC=4，求直线CF的解析式；
（2）在（1）的情况下，连接AM，求△AMO的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据反比例函数k的几何意义得到$\frac{1}{2}$|k|=4，解得k=8，则反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到F（4，2），然后利用待定系数法可求出直线CF的解析式；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到E（2，4），再利用待定系数法可求出直线CF的解析式，接着解两解析式所组成的方程组得到M点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵四边形OABC为正方形，
而点B的坐标是（4，4），
∴正方形OABC的边长为4，
∴S_△OEC=$\frac{1}{2}$|k|=4，
∴k=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，
当x=4时，y=$\frac{8}{x}$=2，则F（4，2），
设直线CF的解析式为y=mx+n，
把C（0，4），F（4，2）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{4m+n=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=4}\end{array}\right.$．
∴直线CF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（2）当y=4时，$\frac{8}{x}$=4，解得x=2，则E（2，4），
设直线OE的解析式为y=px，
把E（2，4）代入得2p=4，解得p=2，
∴直线OE的解析式为y=2x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴S△AMO=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{5}$=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．