Question

9．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，M为AB边上任一点，射线ON⊥OM于点O，且与BC边交于点N，若AB=4，AD=6，则四边形OMBN面积的最大值为$\frac{23}{3}$．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F，易证得△FOM∽△EON，然后由相似三角形性质可得出$\frac{{S}_{△OEM}}{{S}_{△OFN}}$=$\frac{9}{4}$，分点M在点E的两侧考虑，利用分割图形求面积法找出S_{四边形OMBN}关于x的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F，如图所示．
∵四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=6，
∴OE=3，OF=2，OE⊥OF，
∴∠EOM+∠FOM=90°，
∵∠FON+∠FOM=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠OEM=∠OFN=90°，
∴△FON∽△EOM，
∴OM：ON=OE：OF=3：2，
∴$\frac{{S}_{△OEM}}{{S}_{△OFN}}$=$\frac{9}{4}$．
当点E在线段BE上、点N在线段CF上时，设ME=x（0≤x＜2），则FN=$\frac{2}{3}$x，
∴S_{四边形OMBN}=S_矩形EBFO-S_△EOM+S_△FON=2×3-$\frac{1}{2}$×3x+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$x=-$\frac{5}{6}$x+6，
∴当x=0时，S_{四边形OMBN}取最大值，最大值为6；
当点E在线段AE上、点N在线段BF上时，设ME=x（0≤x≤2），则FN=$\frac{2}{3}$x，
∴S_{四边形OMBN}=S_矩形EBFO+S_△EOM-S_△FON=2×3+$\frac{1}{2}$×3x-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$x=$\frac{5}{6}$x+6，
∴当x=2时，S_{四边形OMBN}取最大值，最大值为$\frac{23}{3}$．
故答案为：$\frac{23}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一次函数的性质，利用分割图形求面积法找出S_{四边形OMBN}=±$\frac{5}{6}$x+6是解题的关键．