分析 分两种情况:①如图1,∠A为钝角,AB=AC,在Rt△ABD中,根据锐角三角函数的定义即可得到结果;②如图2,∠A为锐角,AB=AC,在Rt△ABD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果;③如图3,∠A为底角,由tan∠ABD=$\sqrt{3}$,得到∠ABD=60°于是得到∠A=30°,求得∠C=120°,在Rt△BCD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果.
解答 解:分三种情况:
①如图1,∠A为钝角,AB=AC,
在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=$\sqrt{3}$,
∴AD=$\sqrt{3}$,AB=2,
∴AC=2,
∴CD=2+$\sqrt{3}$,
②如图2,∠A为锐角,AB=AC,
在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=$\sqrt{3}$,
∴AD=$\sqrt{3}$,AB=2,
∴AC=2,
∴CD=2-$\sqrt{3}$,
③如图3,∠A为底角,
∵tan∠ABD=$\sqrt{3}$,
∴∠ABD=60°,
∴∠A=30°,
∴∠C=120°,
∴∠BCD=60°
∵BD=1,
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
④∠C为锐角且为顶角时,
如图4,∵BD⊥AC,
∴∠ADB=90°,
∵tan∠ABD=$\sqrt{3}$,
∴∠ABD=60°,
∴∠A=30°,
∵∠CBA=∠A=30°,∴∠C=120°>90°,
∴这种情况不存在;
综上所述;CD的长为:2$+\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故答案为:2$+\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查了等腰三角形的性质,解直角三角形,难点在于要分情况讨论.
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A. | ①③⑤ | B. | ①②③ | C. | ③④ | D. | ③⑤ |
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