Question

【题目】如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG；

（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）∠BAC+∠BGC＝180°，证明详见解析．

【解析】

（1）作线段BC的垂直平分线即可；

（2）在AB上截取AD＝AC，连接DG．首先证明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG＝180°，利用四边形内角和定理即可解决问题．

解：（1）线段BC的中垂线EG如图所示：

（2）结论：∠BAC+∠BGC＝180°．

理由：在AB上截取AD＝AC，连接DG．

∵AM平分∠BAC，

∴∠DAG＝∠CAG，

在△DAG和△CAG中

∵

∴△DAG≌△CAG（SAS），

∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，

∵G在BC的垂直平分线上，

∴BG＝CG，

∴BG＝DG，

∴∠ABG＝∠BDG，

∵∠BDG+∠ADG＝180°，

∴∠ABG+∠ACG＝180°，

∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，

∴∠BAC+∠BGC＝180°．