Question

同学们都知道，平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种．
已知AB∥CD．如图1，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．
（1）已知AB∥CD．如图2，点P在AB、CD内部时，上述结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请你说明你的结论；
（2）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？说明理由；
（3）利用第（2）小题的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

解：（1）不成立，∠BPD=∠B+∠D，
理由是：延长BP交CD于E，如图2，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BED，
∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）如图3，∠BPD=∠B+∠BQD+∠D，
理由是：延长BP交CD于F，
∵∠BFD=∠B+∠BQD，∠BPD=∠BFD+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠BQD+∠D；

（3）∵∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F，
又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
分析：（1）∠BPD=∠B+∠D，延长BP交CD于E，根据平行线性质得出∠B=∠BED，根据三角形外角性质得出∠BPD=∠BED+∠D，代入即可；
（2）∠BPD=∠B+∠BQD+∠D，延长BP交CD于F，根据三角形外角性质得出∠BFD=∠B+∠BQD，∠BPD=∠BFD+∠D，即可得出答案；
（3）根据三角形外角性质得出∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F，代入∠C+∠D+CMN+∠DNM=360°即可求出答案．
点评：本题考查了平行线性质，三角形外角性质，四边形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和猜想能力．