Question

2．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得m的值，从而可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据△PAC为直角三角形，可以得到PA⊥AC或PC⊥AC，然后针对两种情况分别求出点P的坐标即可解答本题．

解答 解：（1）∵点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m）在直线y=x+2上，
∴当x=4时，y=4+2=6，
∴m=6，
即点B的坐标为（4，6），
∵点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（\frac{1}{2}）^{2}+b×\frac{1}{2}+6=\frac{5}{2}}\\{a×{4}^{2}+b×4+6=6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
即抛物线的解析式为：y=2x²-8x+6；
（2）∵△PAC为直角三角形，
∴PA⊥AC或PC⊥AC，
当PA⊥AC时，
∵点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，
∴设点C的坐标为（m，2m²-8m+6），
将x=m代入y=x+2得，y=m+2，
∴点P的坐标为（m，m+2），
∵点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），点P（m，m+2），点C（m，2m²-8m+6），
∴$\frac{m+2-\frac{5}{2}}{m-\frac{1}{2}}•\frac{2{m}^{2}-8m+6-\frac{5}{2}}{m-\frac{1}{2}}=-1$，
解得，${m}_{1}=\frac{1}{2}$（舍去），m₂=3，
∴点P（3，5）；
当PC⊥AC时，
∵点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴点C的纵坐标为$\frac{5}{2}$，
将y=$\frac{5}{2}$代入y=2x²-8x+6，得${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{7}{2}$，
∴此时点C的坐标为（$\frac{7}{2}，\frac{5}{2}$），
将x=$\frac{7}{2}$代入y=x+2，得y=$\frac{11}{2}$，
即点P的坐标为（$\frac{7}{2}，\frac{11}{2}$）；
由上可得，当△PAC为直角三角形时点P的坐标为（3，5）或（$\frac{7}{2}，\frac{11}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题，解答此类问题的关键是明确待定系数法求二次函数解析式的方法，会用分类讨论的数学思想和数形结合的数学思想解答问题，