Question

如图，已知⊙O₁，与⊙O₂外切于点P，过⊙O₁上的一点B作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C、D，直线BP交⊙O₂于点A，连接DP，DA，
（1）求证：△ABD∽△ADP；
（2）若AD=2

7

，BP=3，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）两圆相切一般作它们的公切线，然后利用弦切角，可以得到角的关系，进一步证明三角形相似；
（2）利用（1）的结论，得到AD²=AP•AB，然后把已知条件，代入得到关于PA的方程．解方程就可以求出AB的长．

解答：（1）证明：过P作两圆的公切线EF．
∴∠FPA=∠ADP．
又∵DB是⊙O₁的切线，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APF，
∴∠ADP=∠CBP．
又∠A公共，
∴△ABD∽△ADP；

（2）解：∵△ABD∽△ADP，
∴AD²=AP•AB，
而AD=2

7

，BP=3，
∴(2

7

)2=AP×（AP+3），
∴AP²+3AP-28=0，而AP＞0，
∴AP=4．
∴AB=3+4=7．

点评：此题考查了两圆相切的常用辅助线：作两圆的公切线．然后利用切线的性质找到角的关系，证明三角形相似，再利用相似三角形的性质解决题目问题．