Question

13．如图，直线y=mx与双曲线y=$\frac{k}{x}$都经过点A（2，-2）．
（1）分别求直线OA、双曲线的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度交y轴于B，交双曲线于C，求点C的坐标及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入解析式，即可求出答案；
（2）求出BC的解析式，B的坐标，解方程组求出C的坐标，过A作AN⊥y轴于N，过C作CM⊥y轴于M，求出各个边的长度，再根据面积公式求出即可．

解答 解：（1）把A（2，-2）代入直线y=mx和双曲线y=$\frac{k}{x}$得：-2=2m，k=-4，
即m=-1，
所以直线OA的解析式为y=-x，双曲线的解析式为y=-$\frac{4}{x}$；

（2）∵将直线OA向上平移3个单位长度交y轴于B，交双曲线于C，
∴B点的坐标为（0，2），直线BC的解析式为y=-x+2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1+\sqrt{5}}\\{{y}_{1}=1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1-\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∵C点在第四象限，
∴C的坐标为（1+$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$），
过A作AN⊥y轴于N，过C作CM⊥y轴于M，
∵A（2，-2），B（0，2），C（1+$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$），
∴BM=2-（1-$\sqrt{5}$）=1+$\sqrt{5}$，MN=（1-$\sqrt{5}$）-（-2）=3-$\sqrt{5}$，CM=1+$\sqrt{5}$，AN=2，BN=2-（-2）=4
∴S_△ABC=S_梯形ANMC+S_△BCM-S_△BAN
=$\frac{1}{2}$×（2+1+$\sqrt{5}$）×（3-$\sqrt{5}$）+$\frac{1}{2}$×（1+$\sqrt{5}$）×（1+$\sqrt{5}$）-$\frac{1}{2}$×2×4
=1+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能求出函数解析式和点的坐标是解此题的关键．