Question

19．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，3），C（3，0）；过A作AB∥x轴交抛物线于点B，连接AC、BC，点P为抛物线上动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当∠PAB=∠BCA时，求点P的坐标；
（3）当点P在抛物线上BC两点之间移动时，点Q为x轴上一动点，连接AP、AQ，使得tan∠PAQ=2，且AP交BC于点G，过G作GH⊥AQ交AQ于点H，设点H的坐标为（m，n），求n关于m的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）如图1中，当点P在抛物线上BC两点之间时，连接PA交BC于E，作BM⊥OC于M，EN⊥BM于N．由△ABE∽△CBA，推出$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BE}{AB}$，推出AB²=BE•BC，推出BE•BC=4，由BC=$\sqrt{10}$，推出BE=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，由EN∥MC，推出$\frac{BN}{BM}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EN}{CM}$，推出$\frac{BN}{3}$=$\frac{\frac{2}{5}\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$=$\frac{EN}{1}$，可得BN=$\frac{6}{5}$，EN=$\frac{2}{5}$，推出E（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$），可得直线AE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，解方程组即可求出点P坐标，再根据对称性K可得点P′的坐标．
（3）如图2中，作HM⊥OA于M，GN⊥MH于N．由△AHM∽△HGN，推出$\frac{AM}{HN}$=$\frac{MH}{GN}$=$\frac{AH}{HG}$，由tan∠GAH=$\frac{HG}{AH}$=2，H（m，n），可得$\frac{3-m}{HN}$=$\frac{m}{GN}$=$\frac{1}{2}$，推出HN=6-2m，GN=2m，可得G（6-m，2m+n），因为直线BC的解析式为y=-3x+9，点G在直线BC上，代入即可解决问题．

解答 解：（1）将A（0，3），C（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图1中，当点P在抛物线上BC两点之间时，连接PA交BC于E，作BM⊥OC于M，EN⊥BM于N．

∵∠PAB=∠ACB，∠ABE=∠ABC，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴AB²=BE•BC，
∴BE•BC=4，
∵BC=$\sqrt{10}$，
∴BE=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
∵EN∥MC，
∴$\frac{BN}{BM}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EN}{CM}$，
∴$\frac{BN}{3}$=$\frac{\frac{2}{5}\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$=$\frac{EN}{1}$，
∴BN=$\frac{6}{5}$，EN=$\frac{2}{5}$，
∴E（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$），∵A（0，3），
∴直线AE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，
∵A（0，3），
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{5}$），
根据对称性直线AP关于直线AB的对称的直线AP′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴P′（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
综上所述，满足条件的点P坐标为P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{5}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）如图2中，作HM⊥OA于M，GN⊥MH于N．

∵AH⊥GH，
∴∠AHG=90°，
由△AHM∽△HGN，
∴$\frac{AM}{HN}$=$\frac{MH}{GN}$=$\frac{AH}{HG}$，
∵tan∠GAH=$\frac{HG}{AH}$=2，H（m，n），
∴$\frac{3-m}{HN}$=$\frac{m}{GN}$=$\frac{1}{2}$，
∴HN=6-2m，GN=2m，
∴G（6-m，2m+n），
∵直线BC的解析式为y=-3x+9，
∵点G在直线BC上，
∴2m+n=-3（6-m）+9，
∴m=n+9．

点评 本题考查二次函数综合题．相似三角形的判定和性质、待定系数法、勾股定理、锐角三角函数、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题．