Question

如图，已知在⊙O中，弦AB⊥CD于E，AE=2，EB=8，∠CAD的度数为120°，则⊙O的半径是

 

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Answer 1

分析：连接OC，OD，过点O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，则四边形OGEF是矩形，OG=EF．再由垂径定理求出AF=5，从而得出EF=OG=3，然后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OCD=30°，最后在△OCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OC=2OG=6．

解答：解：连接OC，OD，过点O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G．则四边形OGEF是矩形，OG=EF．
∵AE=2，EB=8，∴AB=10．
∵OF⊥AB于F，∴AF=

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2

AB=5，∴EF=AF-AE=3=OG．
∵∠CAD=120°，∴∠COD=360°-2×120°=120°，
又∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODG=30°．
∵OG⊥CD于G，∴OC=2OG=6．
即⊙O的半径是6．
故答案为6．

点评：本题主要考查了垂径定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质，难度中等．关键是作辅助线．