Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数y=kx的图象与双曲线y=-

2

x

交于点A，且点A的横坐标为-

2

．
（1）求k的值．
（2）将直线y=kx向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于点B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

分析：（1）要求k值，只要知道点A的坐标就可以，而题目告诉了点A的横坐标，将其代入双曲线的解析式就可以求出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数的解析式就可以求出k值．
（2）直线y=kx向上平移4个单位得到直线BC，∴直线BC的解析式为y=kx+4，由（1）知道OC=OB=4．∵以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．∴OB=BD=DP=PO，∠OBD=∠DPO，这样根据线段的长度就可以求出D点的坐标，根据D点的坐标就可以求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵点A的横坐标为-

2

，由题意得：
y=-

2

- 2

∴y=

2

A（-

2

，

2

）
∴

2

=-

2

k
∴k=-1
∴直线BC的解析式：y=-x+4

（2）∵直线BC的解析式：y=-x+4
∴OB=OD=4
∴∠OBC=45°
∵四边形OBDP是菱形
∴OB=BD=DP=PO
∴BD₁=4，由勾股定理可以求出D₁（4-2

2

，2

2

）
∴P₁（-2

2

，2

2

）
同理得P₂（2

2

，-2

2

），P₃（4，4），D₂（4+2

2

，-2

2

），
D₃（0，4），D₄（2，2），P₄（2，-2）
综上所述P点的坐标是P₁（-2

2

，2

2

），P₂（2

2

，-2

2

），
P₃（4，4）P₄（2，-2）
D₁（4-2

2

，2

2

），D₂（4+2

2

，-2

2

），D₃（0，4），D₄（2，2），

点评：本题是一道反比例函数综合试题，考查了一次函数与反比例函数的交点坐标等关系，菱形的判定及性质，由点的坐标求函数的解析式以及平移问题．