Question

某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20-0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．
（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入-生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和-投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．

Answer 1

解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（50，10），（70，8），
∴，
解得，
所以，y=-0.1x+15；

（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，
∴，
解之得45≤x≤65，
①45≤x＜50时，W=（x-30）（20-0.2x）+10（90-x-20），
=-0.2x²+16x+100，
=-0.2（x²-80x+1600）+320+100，
=-0.2（x-40）²+420，
∵-0.2＜0，
∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x=45时，W有最大值，W_最大=-0.2（45-40）²+420=415万元；
②50≤x≤65时，W=（x-30）（-0.1x+15）+10（90-x-20），
=-0.1x²+8x+250，
=-0.1（x²-80x+1600）+160+250，
=-0.1（x-40）²+410，
∵-0.1＜0，
∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x=50时，W有最大值，W_最大=-0.1（50-40）²+410=400万元．
综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；

（3）根据题意得，W=-0.1x²+8x+250+415-700=-0.1x²+8x-35，
令W=85，则-0.1x²+8x-35=85，解得x₁=20，x₂=60．
又由题意知，50≤x≤65，根据函数性质分析，50≤x≤60，
即50≤90-m≤60，
∴30≤m≤40．
分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），然后把点（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解；
（2）先根据两种产品的销售单价之和为90元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出x的取值范围是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出W与x的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解；
（3）用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85万元列出不等式，整理后求解即可．
点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，本题最大的特点就是要根据x的范围的不同分情况列出不同的函数关系式，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．