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已知AB是半径为6的⊙O的直径,点C是⊙O的半径OA上的动点,PC⊥AB交⊙O于E,交OA于C,PC=10,PT是⊙O的切线(切点T在
BE
上).
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(1)如图①当点C与点O重合时,求PT的长;
(2)如图②当点C与点A重合时,求AT的长;
(3)如图③设AC=x,PT=y,试求y关于x的函数关系式,并写出x、y的取值范围.
分析:(1)连接OT,根据勾股定理即可求出.
(2)可通过构建直角三角形来求解,连接OP,OT,那么OT⊥PT,由于PT、PA都是圆O的切线,根据切线长定理,PA=PT,OP是∠APT的平分线,那么OP垂直平分AT、AT=2AQ,那么求AT的关键就是求AQ的长,直角三角形PAO中,有PA、OA的长,可求出OP的长,然后根据面积法来求出AQ的长.
(3)可构建直角三角形来求解,连接PO,OT,那么PO是直角三角形PCO和PTO的公共边,那么利用好着条公共边是解题的关键.
直角三角形POC中,OC可以用x表示出来,PC=10,那么可用x表示出PO2,直角三角形PTO中,PT=y,有半径的长,因此可用y表示出PO2,那么整合这两个关于PO2的式子即可得出关于x、y的函数式.
解答:解:(1)连接OT,则OT⊥PT,
在直角三角形OPT中,PT=
PO2-OT2
=8,

(2)连接PO,OT,
∵PA⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴PA是⊙O的切线,
又PT是⊙O的切线,
∴PA=PT,∠PAO=∠PTO=90°,
又OA=OT,
∴Rt△PAO≌Rt△PTO;
∵PA,PT都是⊙O的切线,
∴PO是∠ART的平分线,
∴PO⊥AT,设PO与AT交于Q,则AT=2AQ;
在Rt△PAO中,PA=10,AO=6,
∴PO=2
34

∵S△PAO=
1
2
AP•AO=
1
2
PO•AQ,
∴AQ=
PA.AO
PO
=
15
34
17

∴AT=
30
34
17


(3)连接PO,OT则OC=6-x,
∴PO2=102+(6-x)2
PT2=PO2-OT2=102+(6-x)2-62=x2-12x+100,
∴y=
x2-12x+100

0≤x≤6,8≤y≤10.
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点评:本题主要考查了切线的性质.连接圆心和切点,运用好直角三角形求解是本题解题的关键.
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5
2
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3
2
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