Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先证明△ABD是等边三角形可得∠PAF=30°，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF=30°，∠PFA=90°，推出PF=PA，推出2BP+AP=2（PB+PA）=2（PB+PF），所以当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，求出BF′即可解决问题．

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°

∴AC⊥BD，∠B=60°

∵DC=CB，

∴AD=AB，∵∠B=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠PAF=30°，

作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．

∵∠PAF=30°，∠PFA=90°，

∴PF=PA，

∴2BP+AP=2（PB+PA）=2（PB+PF），

∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，

在Rt△DF′B中，∵∠D=60°，DB=4，

∴∠DBF′=30°

∴DF′=2，

∴BF′=

∴2BP+AP的最小值为4．