Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（6，3）．过点D（0，5）和E（10，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象经过点M．求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；
（2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；
（3）满足条件的最内的双曲线的m=12外的双曲线的m=18，以可得其取值范围．

解答：解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，
∵点D，E的坐标为（0，5）、（10，0），
∴

b=5 10k+b=0

；
解得k=-

1

2

，b=5；
∴y=-

1

2

x+5；
∵点M在AB边上，B（6，3），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为3；
又∵点M在直线 y=-

1

2

x+5上，
∴3=-

1

2

x+5；
∴x=4；
∴M（4，3）；

（2）∵y=

m

x

（x＞0）经过点M（4，3），
∴m=12；
∴y=

12

x

；
又∵点N在BC边上，B（6，3），
∴点N的横坐标为6；
∵点N在直线 y=-

1

2

x+5上，
∴y=2，
∴N（6，2）
∵当x=6，y=2
∴点N在函数y=

12

x

的图象上；

（3）当反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象经过点M（4，3），N（6，2）时，m的值最小，此时m=xy=12，
当反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象通过B（6，3）时，m的值最大，此时m=xy=18，
∴12≤m≤18．

点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上．