Question

15．已知A（1，4）、点B（-2，n）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，请在这个反比例函数图象上找点C，使∠ABC=45°，直接写出点C的横坐标（-5+$\sqrt{29}$，5+$\sqrt{29}$）或（-5-$\sqrt{29}$，5-$\sqrt{29}$）．

Answer 1

分析 先确定出直线AB解析式，从而确定出垂直于直线AB的直线DF解析式，利用∠ABC=45°，构造等腰直角三角形，即可求出点E坐标，进而却出直线BE解析式，和反比例函数解析式联立求解即可．

解答 解：如图，

∵A（1，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∵点B（-2，n）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴-2n=4，
∴n=-2，
∴B（-2，-2），
∴直线AB解析式为y=2x+2，
∴直线AB与y轴相交于点D（0，2），
∴BD=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$
过点D作直线DF⊥AB，
∴直线DF解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
在直线DF上取一点E使DE=BD=2$\sqrt{5}$，
设点E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∵D（0，2），
∴DE=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{2}m+2-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴m=±4，
∴E（4，0），或（-4，4），
①当点E（4，0）时，
∵B（-2．-2），
∴直线BE解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
∵反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
联立这两个方程化简得，x²-4x+6=0，
此方程无解；
②当点E（-4，4）时，
∵B（-2．-2），
∴直线BE解析式为y=x+10，
∵反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
联立这两个方程化简得，x²+10x-4=0，
∴x=-5±$\sqrt{29}$，
∴y=5±$\sqrt{29}$，
∴C（-5+$\sqrt{29}$，5+$\sqrt{29}$）或（-5-$\sqrt{29}$，5-$\sqrt{29}$）．

点评 此题是反比例函数图象上的点的特征，主要考查了待定系数法求直线解析式，平面坐标系中两点间的距离公式，解本题的关键是构造等腰直角三角形，也是解本题的难点．