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    如图，在直角坐标系中，已知点A（
    		3
    ，0），B（-
    		3
    ，0），以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
    （1）若抛物线y=
    1
    3
    x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
    （2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
    （3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
    （1）∵OA=
    		3
    ，AB=AC=2
    		3
    ，
    ∴B（-
    		3
    ，0），C（3
    		3
    ，0），连接AD，
    在Rt△AOD中，AD=2
    		3
    ，OA=
    		3
    ，
    ∴OD=
    		AD2-OA2
    =3，
    ∴D的坐标为（0，-3），（3分）
    又∵D，C两点在抛物线上，
    ∴
    c=-3
    1
    3
    •(3
    		3
    )2+3
    		3
    b+c=0
    ，
    解得
    b=-
    2
    3
    		3
    c=-3
    ，
    ∴抛物线的解析式为：y=
    1
    3
    x2-
    2
    		3
    3
    x-3，（5分）
    当x=-
    		3
    时，y=0，
    ∴点B（-
    		3
    ，0）在抛物线上，（6分）

    （2）∵y=
    1
    3
    x2-
    2
    		3
    3
    x-3，
    =
    1
    3
    （x-
    		3
    ）2-4，
    ∴抛物线y=
    1
    3
    x2-
    2
    		3
    3
    x-3的对称轴方程为x=
    		3
    ，（7分）
    在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
    ∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
    连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
    设直线DC的解析式为y=mx+n．
    由
    n=-3
    3
    		3
    m+n=0
    ，
    得
    m=
    		3
    3
    n=-3
    ，
    ∴直线DC的解析式为y=
    		3
    3
    x-3．
    由
    y=
    		3
    3
    x-3
    x=
    		3
    ，
    得
    x=
    		3
    y=-2
    ，
    故点P的坐标为(
    		3
    ，-2)    ．（9分）

    （3）存在，设Q（
    		3
    ，t）为抛物线对称轴x=
    		3
    上一点，
    M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
    则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
    于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（xm，t），
    由BC=QM得QM=4
    		3
    ，
    从而xm=-3
    		3
    ，t=12，
    另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
    故在抛物线上存在点M（-3
    		3
    ，12）或（5
    		3
    ，12）或（
    		3
    ，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．（12分）
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
    （1）求线段OA所在直线的函数解析式；
    （2）设抛物线顶点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，与x轴另一交点为D，与y轴交于点C．
    （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；
    （2）如图，连接AC，在抛物线上是否存在点P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，
    ①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否发生变化，并说明理由；
    ②当EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分时，求点E的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
    （1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
    （2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线解析式；
    （3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM=S△BPM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如如在直角坐标系中，二次函数y=x2-4x+中的顶点是C，与x轴相交于A，B两点（A在B的左边）．
    （1）若点B的横坐标xB满足5＜xB＜c，求中的取值范围；
    （2）若tan∠ACB=
    4
    十
    ，求中的值；
    （十）当中=c时，点D，E同时从点B出发，分别向左、向右在抛物线它移动，点D，E在x轴它的正投影分别为M，N，设BM=m（m＜cB），BN=n，当m，n满足怎样的等量关系时，△cDE的内心在x轴它？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=2x2+bx-2经过点A（1，0）．
    （1）求b的值；
    （2）设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的Q点有几个，并求出PQ的长．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：抛物线y=x2+（b-1）x+c经过点P（-1，-2b）．
    （1）求b+c的值；
    （2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；
    （3）若b＞3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx交于点C、D．已知点C的坐标为（2，1），点D的横坐标为
    1
    2
    ．
    （1）求点D的坐标；
    （2）求抛物线的函数表达式；
    （3）抛物线在x轴上方部分是否存在一点P，使△POA的面积比△POB的面积大4？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
    （4）将题中的抛物线y=ax2+bx沿x轴平移，当抛物线经过点B时，请直接写出平移的方向和距离．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
    （1）求y与x的函数关系式；
    （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
    （3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算从计算结果看，你有何感想？（不超过30字）

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