Question

12．已知抛物线y=2x²+bx+c与直线y=-1只有一个公共点，且经过A（m-1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为22．

Answer 1

分析 根据抛物线y=2x²+bx+c与直线y=-1只有一个公共点，可知该抛物线顶点的纵坐标是-1，由A（m-1，n）和B（m+3，n），可得抛物线的对称轴和AB的长度，从而可以得到关于b，c的关系式，通过转化即可求得n的值，从而可以求得四边形AMNB的周长．

解答 解：y=2x²+bx+c=$2（x+\frac{b}{4}）^{2}+c-\frac{{b}^{2}}{8}$，
∵抛物线y=2x²+bx+c与直线y=-1只有一个公共点，
∴$c-\frac{{b}^{2}}{8}=-1$，得$c=\frac{{b}^{2}}{8}-1$，
∵抛物线y=2x²+bx+c经过A（m-1，n）和B（m+3，n），
∴该抛物线的对称轴为：直线x=$\frac{m-1+m+3}{2}=m+1$=$-\frac{b}{2×2}=-\frac{b}{4}$，
∴b=-4（m+1），
∴$c=\frac{{b}^{2}}{8}-1=\frac{[-4（m+1）]^{2}}{8}-1$=2m²+4m+1，
∴y=2x²+bx+c=2x²-4（m+1）x+2m²+4m+1，
∴n=2×（m-1）²-4（m+1）（m-1）+2m²+4m+1=7，
即AM=BN=7，
∵A（m-1，n），B（m+3，n），
∴AB=（m+3）-（m-1）=4，
∴四边形AMNB的周长为是：AM+MN+NB+BA=7+4+7+4=22，
故答案为：22．

点评 本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．