Question

有一张长方形纸片ABCD，其中AB=3，BC=4，将它折叠后，可使点C与点A重合（图1），也可使点C与AB上的点E重合（图2），也可使点C与AD上的点E重合（图3），折痕为线段FG．
（1）如图1，当点C与点A重合时，则折痕FG的长为

 

．
（2）如图2，点E在AB上，且AE=1，当点C与点E重合时，则折痕FG的长为

 

．
（3）如图3，当C与AD上的点E重合，折痕FG与边BC、CD分别相交于点F、G，AE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域．
（4）如果折叠后，使点C与这张纸的边上点E重合，且DG=1，那么点E可以在边

 

 上（写出所有可能的情况）．

Answer 1

分析：（1）连接CG，可证△AHG∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例可求出HG的长度；易证△AHG≌△CHF，则FG=2HG；
（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．易证△CHF∽△CBE，得出CH=2HF．在直角△BCE中，运用勾股定理，可出CE的长度，求出HF的值；设DG=y，由GE=GC，运用勾股定理求出y的值，得到CG的长度，从而在直角△CHG中，由勾股定理计算出GH的值，则GF=GH+HF；
（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．在直角△HFE中，运用勾股定理可求得y关于x的函数解析式，并根据条件得到函数的定义域；
（4）（2）中点C与点E重合，且DG=1，即点E可以在边AB上，同样，可知点E可以在边AD、BC上．

解答：解：（1）连接CG．
∵点C与点A关于FG对称，
∴FG垂直平分AC，
∴∠AHG=90°，AH=

1

2

AC=2.5．
在△AHG与△CBA中，∵∠AHG=∠CBA，∠GAH=∠ACB，
∴△AHG∽△CBA，
∴HG：AB=AH：BC，
∴HG=3×2.5÷4=

15

8

．
在△AHG与△CHF中，
∠GAH=∠HCF，AH=CH，∠AHG=∠CHF，
∴△AHG≌△CHF，
∴HG=HF，
∴FG=2HG=

15

4

；

（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．
在△CHF与△CBE中，∠CHF=∠B=90°，∠HCF=BCE，
∴△CHF∽△CBE，
∴HF：BE=CH：BC，
∴CH=2HF．
设HF=x，则CE=2CH=4x．
在△BCE中，∠B=90°，
∴CE²=BE²+BC²，
∴16x²=4+16，
∴x=

5

2

．
设DG=y，则AG=4-y．
∵GE=GC，
∴1²+（4-y）²=3²+y²，
∴y=1．
∴GC²=DG²+CD²=1+9=10，
∴GH²=GC²-CH²=10-5=5，
∴GH=

5

，
∴GF=GH+HF=

5

+

5

2

=

3

2

5

；

（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．则FE=FC=4-y，HE=x-y，FH=3，
由勾股定理有（x-y）²+3²=（4-y）²，
从而得y=

x2-7

2x-8

（1＜x＜

7

）；

（4）AB、AD、BC．
故答案为

15

4

；

3 5

2

；AB、AD、BC．

点评：本题考查了轴对称、矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．