【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC相交于点D,过点D作⊙O的切线与AB相交于点E.
(1)求证:DE⊥AB;
(2)若BE=2,BC=6,求⊙O的直径.
【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的直径为.
【解析】
(1)连接AD,OD,得出AD⊥BC,再根据AB=AC得出BD=CD,得出OD是三角形ABC的中位线,从而得出OD∥AB,从而得证;
(2)根据BE=2,BC=6得出,易证△AED∽△ADC,AEa,AD=3a,解直角三角形AED得出a的值,从而求算AB,算出直径.
(1)连接AD,OD.
∵AC是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD.
∵AO=CO,
∴OD∥AB,
∴DE⊥AB;
(2)∵DE⊥AB,
∴∠BED=∠AED=90°.
∵BE=2,BC=6,
∴BD=CD=3,
∴DE,
∵∠AED=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD,
∴△AED∽△ADC,
∴,
设AEa,AD=3a.
∵AE2+DE2=AD2,
∴5a2+5=9a2,
∴a(负值舍去),
∴AE,
∴AB=AE+BE,
∴⊙O的直径为.
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【题目】如图①,在等腰三角形ABC中,AB=AC=8,BC=14.如图②,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD.如图③,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是_____.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2),(5,3),则下列说法正确的是( )
①抛物线与y轴有交点
②若抛物线经过点(2,2),则抛物线的开口向上
③抛物线的对称轴不可能是x=3
④若抛物线的对称轴是x=4,则抛物线与x轴有交点
A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④
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【题目】在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交边BC于点D,分别过D作DE∥AC交边AB于点E,DF∥AB交边AC于点F.
(1)如图1,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由;
(2)如图2,若AD=4,点H,G分别在线段AE,AF上,且EH=AG=3,连接EG交AD于点M,连接FH交EG于点N.
(i)求ENEG的值;
(ii)将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′,求证:H,F,M′三点在同一条直线上
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+m(m为常数)的图象与x轴交于A(﹣3,0),与y轴交于点C.以直线x=﹣1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a>0)经过A,C两点,与x轴正半轴交于点B.
(1)求一次函数及抛物线的函数表达式;
(2)P为线段AC上的一个动点(点P与C、A不重合)过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点D,连接CD,AD,点P的横坐标为n,当n为多少时,△CDA的面积最大,最大面积为多少?
(3)在对称轴上是否存在一点E,使∠ACB=∠AEB?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,以点O为位似中心,将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′,已知OA=10cm,OA′=20cm,则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是( )
A.1:2B.2:1C.1:3D.3:1
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2) 当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,己知二次函数的图像与y轴交于点B(0, 4),与x轴交于点A(-1,0)和点D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△BOP的面积等于?如果存在,请求出点P的坐标?如果不存在,请说明理由.
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