Question

观察下列等式，回答问题．
16-1=15，25-4=21，36-9=27，49-16=33…
（1）第5个等式是______；
（2）用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是______．

Answer 1

解：由16-1=15，4²-1²=3×5；
25-4=21，5²-2²=3×7；
36-9=27，6²-3²=3×9；
49-16=33，7²-4²=3×11；
可以看出：等式左边：被减数的底数4，5，6，7…呈现的规律为：首项为4，等差为1的等差数列，所以第n项为：4+n-1=n+3；
减数的底数1，2，3，4…呈现的规律为：首项为1，等差为1的等差数列，所以第n项为：1+n-1=n；
等式右边：5，7，9，11…呈现的规律是：首项为5，等差为2的等差数列，所以第n项为：5+2（n-1）=2n+3；
所以用自然数n表示上面一系列等式所反映的规律为：（n+3）²-n²=3（2n+3）．
分析：将上述等式等价变换成4²-1²=3×5，5²-2²=3×7；6²-3²=3×9；7²-4²=3×11，得出等式两边个分项之间的关系式，分别推出第n项时各个分式的值，再按各个等式的格式推出规律为：（n+3）²-n²=3（2n+3）．
点评：本题属于规律型的，关键在于通过等价变换后，对各个等式中各个项呈现的不同规律，推出用自然数n表示的规律为：（n+3）²-n²=3（2n+3），期间用到的小知识点有等差数列，平方差等．