Question

在△ABC中，∠ABC＝45 °，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．

(1)求AC所在直线的函数解析式；
(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)在Rt△OCE中， OE＝OCtan∠OCE＝＝， ∴点E(0，2)． 设直线AC的函数解析式为y＝kx+， 有， 解得：k＝． ∴直线AC的函数解析式为y＝； (2)在Rt△OGE中， tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝， 设EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t， ∴，得t＝2， 故EG＝6，OG＝10， ∴S△OEG＝； (3)存在． ①当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1， 作∠FOQ的角平分线交CE于点P1， 由△OP1F≌△OP1Q， 则有P1F⊥x轴， 由于点P1在直线AC上， 当x＝10时，y＝﹣＝， ∴点P1(10，)； ②当点Q在AB上时，如图2， 有OQ＝OF， 作∠FOQ的角平分线交CE于点P2， 过点Q作QH⊥OB于点H， 设OH＝a，则BH＝QH＝14﹣a， 在Rt△OQH中， a2+(14﹣a)2＝100， 解得：a1＝6，a2＝8， ∴Q(﹣6，8)或Q(﹣8，6)． 连接QF交OP2于点M． 当Q(﹣6，8)时，则点M(2，4)． 当Q(﹣8，6)时，则点M(1，3)． 设直线OP2的解析式为y＝kx， 则2k＝4，k＝2． ∴y＝2x． 解方程组， 得． ∴P2()； 当Q(﹣8，6)时，则点M(1，3)． 同理可求P2'()． 综上所述，满足条件的P点坐标为 (10，)或() 或()．