(1)阅读证明①如图1.在△ABC所在平面上存在一点P.使它到三角形三顶点的距离之和最小.则称点P为△ABC的费马点.此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．②如图2.已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证:PB+PC=PA．(2)知识迁移根据(1)的结论.我们有如下探寻△ABC(其中∠A.∠B.∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:第一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（1）阅读证明
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的

上任意一点．求证：PB+PC=PA．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在

上取一点P₀，连接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+

P₀D

；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段

的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．

分析：（1）根据已知首先得出△PCE为等边三角形，进而得出△ACP≌△BCE（SAS）即AP=BE=BP+PE=BP+PC；
（2）利用（1）中结论得出P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解；
（3）在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解．

解答：

解：（1）如图2，延长BP至E，使PE=PC．
∵在等边△ABC中，
∴∠EPC=∠BAC=60°，
∵PC=PE，
∴△PCE为等边三角形，
∴PC=PE，∠PCE=60°，
∴∠BCP+∠PCE=∠ACB+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCE，
∵在△ACP和△BCE中，

BC=AC

∠BCE=∠ACP

CE=PC

，
∴△ACP≌△BCE（SAS）．
∴AP=BE=BP+PE=BP+PC；

（2）由（1）得出：第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在

上取一点P₀，连接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段AD的长度即为△ABC的费马距离．

（3）如图4，以BC为边在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD．
∴AD的长就是△ABC的费马距离．
可得∠ABD=90°
∴AD=

AB2+BD2

=5（km）．
∴输水管总长度的最小值为5千米．
故答案为：P₀D；AD．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h₁，到AC的距离PF=h₂，到BC的距离PH=h₃．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h₁=

h，h₂=

h，因此得到：h₁+h₂=h．
小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h₁+h₂=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：如图3，连接AP．
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴

BC•AD=

AB•PE+

AC•PF
∴

a•h=

a•h₁+

a•h₂．
∴h₁+h₂=h．
（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h₁，h₂与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5

画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

23、阅读理解：如图（1），已知直线m∥n，A、B 为直线n上两点，C、D为直线m上两点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积．
根据上述内容解决以下问题：已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF．
（1）如图（2），当点G与点D重合时，△BDF的面积为

．
（2）如图（3），当点G是CD的中点时，△BDF的面积为

．
（3）如图（4），当CG=a时，则△BDF的面积为

，并说明理由．
探索应用：小张家有一块正方形的土地如图（5），由于修建高速公路被占去一块三角形BCP区域．现决定在DP右侧补给小张一块土地，补偿后，土地变为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BP上，请你在图中画出M点的位置，并简要叙述做法．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：

AB•r₁+

AC•r₂=

AC•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解与应用：
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
（2）类比与推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展与延伸：
若正n边形A₁A₂…A_n，内部任意一点P到各边的距离为r₁r₂…r_n，请问r₁+r₂+…+r_n是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

（2012•青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读材料：
如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O．
求证：S_{四边形ABCD}=

AC•BD；
证明：∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

AC•OD+

AC•BO=

AC（OD+OB）=

AC•BD

解答下列问题：
（1）上述证明得到的结论可叙述为

对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半

；
（2）如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，且AC=8，则S_梯形ABCD=

；
（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则S_菱形ABCD=

．

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