Question

如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC=4∠OMN，
∠ACB=6∠OMN．求∠OMN的大小．

Answer 1

分析：设∠OMN=x，则∠ABC=4x，∠ACB=6x．根据三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，得OA=OB=OC．根据等腰三角形的三线合一和等边对等角的性质和三角形的内角和定理，分别表示出∠NOC和∠AOC，进一步计算出∠ONM=180°-（180°-10x+8x+x）=x．发现等腰三角形MON．则ON是OB的一半，根据直角三角形的性质可以求得∠OBN=30度．再求得∠OMN的大小．

解答：解：设∠OMN=x，则∠ABC=4x，∠ACB=6x；
∴∠NOC=180°-10x，∠AOC=8x，
∴∠ONM=180°-（180°-10x+8x+x）=x，
∴△MON为等腰三角形，
∴ON=OM=

1

2

OA=

1

2

OB；
∴∠OBN=30°，
∴180°-10x=60°，
∴x=12°．

点评：综合运用了等腰三角形和直角三角形的性质．要熟练掌握三角形和圆的有关性质才能灵活解题．