Question

6．如图，点O是边长为4$\sqrt{3}$的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB₁C₁，B₁C₁交BC于点D，B₁C₁交AC于点E，则DE=6-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 令OB₁与BC的交点为F，B₁C₁与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，根据等边三角形的性质以及内心的性质找出△FOB为等腰三角形，并且△BFO∽△B₁FD，根据相似三角形的性质找出B₁D的长度，再通过找全等三角形以及解直角三角形求出C₁E的长度，由此即可得出DE的长度．

解答 解：令OB₁与BC的交点为F，B₁C₁与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．
∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB₁C₁，
∴∠BOF=30°，
∵点O是边长为4$\sqrt{3}$的等边△ABC的内心，
∴∠OBF=30°，OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=4，
∴△FOB为等腰三角形，BN=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴BF=$\frac{BN}{cos∠OBF}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=OF．
∵∠OBF=∠OB₁D，∠BFO=∠B₁FD，
∴△BFO∽△B₁FD，
∴$\frac{{B}_{1}D}{OB}=\frac{{B}_{1}F}{BF}$．
∵B₁F=OB₁-OF=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴B₁D=4$\sqrt{3}$-4．
在△BFO和△CMO中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠OCM}\\{OB=OC}\\{∠BOF=COM}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM=BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，C₁M=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在△C₁ME中，∠C₁ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C₁=30°，
∴∠C₁EM=90°，
∴C₁E=C₁M•sin∠C₁ME=（4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$-2．
∴DE=B₁C₁-B₁D-C₁E=4$\sqrt{3}$-（4$\sqrt{3}$-4）-（2$\sqrt{3}$-2）=6-2$\sqrt{3}$．
故答案为：6-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及解直角三角形，解题的关键是求出线段B₁D、C₁E的长度．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，用到了相似三角形和全等三角形的判定及性质，因此找出相等的边角关系是关键．