Question

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上有两点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），若x₁＜1，x₂＞1，x₁+x₂＞2，试判断y₁与y₂的大小，并说明理由；
（3）直线l过A及C（0，-2），P为抛物线上一点（在x轴上方），过P作PD∥y轴交直线AC于点D，以PD为直径作⊙E，求⊙E在直线AC上截得的线段的最大长度．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．
（3）先判断出∠OCA=∠PDF进而得出△AOC∽△PFD，得出DF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$PD，最后建立DF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$PD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$×（-x²+$\frac{5}{2}$x+5），即可得出结论．

解答 解：（1）抛物线 y=-x²+bx+c的对称轴为直线x=1，AB=4．
∴点 A（-1，0），点B（3，0）．
∴抛物线的表达式为y=-（x+1）（ x-3）
∴y=-x²+2x+3．
（2）如图，
∵点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）在抛物线上，
且x₁＜1，x₂＞1，
∴点M在直线x=1的左侧，点N在直线x=1的右侧．
∵x₁+x₂＞2，
∴1-x₁＜x₂-1，
∴点M到直线x=1的距离比点N到直线x=1的距离近，
∴y₁＞y₂．
（3）
解：∵OA=-1，OC=-2，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∵PD∥OC，
∴∠OCA=∠PDF，
∵PD是直径，
∵∠PFD=∠AOC=90°，
∴△AOC∽△PFD，
∴$\frac{DF}{PD}$=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴DF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$PD，
设AC的解析式为y=kx+b，把A（0．-1），C（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-2，
设D（x，-2x-2），P（x，-x²+2x+3），
∴PD=-x²+2x+3+2x+2=-x²+4x+5，
∴DF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$PD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$×（-x²+4x+5）=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$（x-2）²+$\frac{18}{\sqrt{5}}$，
∴当x=2时，DF_最大=$\frac{18}{\sqrt{5}}$=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，涉及到的知识点主要有，相似三角形的判定和性质，判断出△AOC∽△PFD是解本题的关键．