【题目】如图,O是等边内一点,,以点B为旋转中心,将线段BO逆时针旋转得到线段,连接,则下列结论:
①可以由绕点B逆时针旋转得到
②连接,则
③
④
其中正确的结论是____________.
【答案】①②③
【解析】
如图,连接OO′,首先证明△OBO′为为等边三角形,得到OO′=OB=4,故选项②正确;证明△ABO′≌△CBO,得到选项①正确;运用勾股定理逆定理证明△AOO′为直角三角形,求出∠AOB的度数,得到选项③正确;运用三角函数及三角形面积公式求出四边形AOBO′的面积,可判断选项④错误.
解:如图,连接OO′;
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=CB,
由题意得:∠OBO′=60°,OB=O′B,
∴△OBO′为等边三角形,∠ABO′=∠CBO,
∴OO′=OB=4,∠BOO′=60°,②正确;
在△ABO′与△CBO中,,
∴△ABO′≌△CBO(SAS),
∴AO′=OC=5,
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到,①正确;
在△AOO′中,AO′=5,OA=3,OO′=4,
∵32+42=52,
∴△AOO′为直角三角形,且∠AOO′=90°,
∴∠AOB=90°+60°=150°,③正确;
∵S四边形AOBO′=×4×4×sin60°+×3×4=,④错误,
综上所述,正确的结论为①②③.
故答案为:①②③.
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【题目】某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”,其进价为16元/kg.经市场调查发现:该商品的日销售量y(kg)是售价x(元/kg)的一次函数,其售价、日销售量对应值如表:
售价(元/) | 20 | 30 | 40 |
日销售量() | 80 | 60 | 40 |
(1)求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)为多少时,当天的销售利润 (元)最大?最大利润为多少?
(3)由于产量日渐减少,该商品进价提高了元/,物价部门规定该商品售价不得超过36元/,该商店在今后的销售中,日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若日销售最大利润是864元,求的值.
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【题目】抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣3).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,判断△CBD的形状;
(3)直线BN∥x轴,交抛物线于另一点N,点P是直线BN下方的抛物线上的一个动点(点P不与点B和点N重合),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,当四边形BPNQ的面积最大时,求出点P的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似,试求x的值;
(3)试求当x取何值时,以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点.
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【题目】在平面直角坐标系中(如图),已知函数的图像和反比例函数的在第一象限交于A点,其中点A的横坐标是1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)把直线平移后与轴相交于点B,且,求平移后直线的解析式.
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【题目】如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,点坐标为,点坐标为,点是抛物线的顶点,过点作轴的垂线,垂足为,连接.
(1)求抛物线的解析式及点的坐标;
(2)点是抛物线上的动点,当时,求点的坐标;
(3)若点是轴上方抛物线上的动点,以为边作正方形,随着点的运动,正方形的大小、位置也随着改变,当顶点或恰好落在轴上时,请直接写出点的横坐标.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,且对角线AC⊥BD,垂足为点E,过点C作CF⊥AB于点F,交BD于点G.
(1)如图①,连接EF,若EF平分∠AFG,求证:AE=GE;
(2)如图②,连接CO并延长交AB于点H,若CH为∠ACF的平分线,AD=3,且tan∠FBG=,求线段AH长
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